原码、反码、补码详解

本文简单总结了原码、反码、补码的计算以及由来。

机器数和真值

机器数

一个数在计算机中的二进制表示形式,叫做这个数的机器数。机器数是带符号的,在计算机用一个数的最高位存放符号,正数为0,负数为1。

比如,十进制中的数 +3 ,计算机字长为8位,转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ,就是10000011。这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。

真值

因为第一位是符号位,所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011,其最高位1代表负,其真正数值是 -3 而不是形式值131(10000011转换成十进制等于131)。为区别起见,将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

原码、反码、补码的基础概念和计算方法

原码、反码、补码是机器存储一个具体数字的编码方式。

原码

原码就是符号位加上真值的绝对值,即用第一位表示符号,其余位表示值。比如如果是8位二进制:

  • [+1]原 = 0000 0001
  • [-1]原 = 1000 0001

因为第一位是符号位,所以8位二进制数的取值范围就是:[1111 1111 , 0111 1111],即[-127 , 127]

原码是人脑最容易理解和计算的表示方式。

反码

  • 正数的反码是其本身。
  • 负数的反码是在其原码的基础上,符号位不变,其余各个位取反。

下面是一个例子:

  • [+1] = [00000001]原 = [00000001]反
  • [-1] = [10000001]原 = [11111110]反

可见如果一个反码表示的是负数,人脑无法直观的看出来它的数值,通常要将其转换成原码再计算。

补码

  • 正数的补码就是其本身。
  • 负数的补码是在其原码的基础上,符号位不变,其余各位取反,最后+1。(即在反码的基础上+1)

下面是一个例子:

  • [+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补
  • [-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

对于负数,补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的,通常也需要转换成原码再计算其数值。

原码、反码、补码的由来

人脑可以知道第一位是符号位,在计算的时候我们会根据符号位,选择对真值区域的加减。但是对于计算机,加减乘数已经是最基础的运算,要设计的尽量简单。计算机辨别”符号位”显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂!于是人们想出了将符号位也参与运算的方法。我们知道,根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数,即: 1 - 1 = 1 + (-1) = 0。因此,机器可以只有加法而没有减法,这样计算机运算的设计就更简单了。

原码:

正数正数(原码)负数负数(原码)
0000001000
10001-11001
20010-21010
30011-31011
40100-41100
50101-51101
60110-61110
70111-71111

我们希望+1和-1相加是0,但计算机只能算出0001+1001=1010 (-2)

为了解决“正负相加等于0”的问题,在“原码”的基础上,人们发明了“反码”:

正数正数(反码)负数负数(反码)
0000001111
10001-11110
20010-21101
30011-31100
40100-41011
50101-51010
60110-61001
70111-71000

当“原码”变成“反码”时,完美的解决了“正负相加等于0”的问题,过去的+1和-1相加,变成了0001+1101=1111,刚好反码表示方式中,1111象征-0。

人们总是进益求精,历史遗留下来的问题—— 有两个零存在,+0 和 -0。我们希望只有一个0,所以发明了”补码”,同样是针对”负数”做处理的。从原来”反码”的基础上,补充一个新的代码,(+1)。

正数正数(补码)负数负数(补码)
0000000000
10001-11111
20010-21110
30011-31101
40100-41100
50101-51011
60110-61010
70111-71001
-81000

有得必有失,在补一位1的时候,要丢掉最高位。我们要处理”反码”中的”-0”,当1111再补上一个1之后,变成了10000,丢掉最高位就是0000,刚好和左边正数的0完美融合。这样就解决了+0和-0同时存在的问题。

另外”正负数相加等于0”的问题,同样得到满足,举例,3和(-3)相加,0011 + 1101 =10000,丢掉最高位,就是0000(0)。

以上就是”补码”的存在方式。

参考

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