美女猜硬币

你在酒吧独自喝闷酒,旁边来了个美女,手里拿两个硬币,要你陪她玩这么个游戏:

每人一个硬币,每次两人一起给出正反面

如果:

  1. 两个正面,你赢 3 块钱
  2. 两个反面,你赢 1 块钱
  3. 一正一反,你输 2 块钱

那么是不是又不花钱,还有美女陪你玩挺不错的?那么作为一个守财如命的小青年,我是应该跟美女玩,还是不玩呢?

问题解答

现在我们假设:

  • 你出正面的概率是X,那么反面的概率是1-X;
  • 美女出正面的概率是Y,那么反面的概率是1-Y

赢的概率乘以赢的金额,等于赢的预期,而你赢美女的预期公式就是,你赢的预期-美女的赢的预期

下面我们分别算出你和美女的预期。只要哪一方的概率高出哪一方,那么谁就可以赢:

  • 你的盈利是3块和1块两种,概率也有两组“双正面3(XY),或者双反面1(1-x)(1-Y)”
    • 你的赢面 = 3(XY)+1(1-x)(1-Y)
  • 美女的盈利是2块和2块,概率也有两组“正面+反面”2X(1-Y),或者“反面+正面”2Y(1-X):
    • 美女的赢面 = 2X(1-Y)+2Y(1-X)

你的赢面-美女的赢面,等于你的赢面。

3(XY)+1(1-x)(1-Y) - 2X(1-Y)+2Y(1-X)

经过展开,最后公式可以简化为:

8XY-3X-3Y+1

注意,既然XY都是概率,那么他们的数值就是介于0-1之间。如果你的赢面预期<0(就是前面的减法),那么你就是一直输钱的

这个美女就在想,我需要调整Y的概率,让你不管是出正面还是反面,都是输钱,也就是让你期望值小于0

我们可以将最后公式中的Y(女人的概率)提取出来:

(8X-3)Y - 3X+1 < 0

只要这个不等式小于0,那美女就可以一直赢!

这时候问题就很简单了,只要(8X-3)Y < 3X+1,小数减大数,永远是负数,不会大于0。

结果是当Y处于“1/3到2/5”之间的时候,男人的期望值都是负数。

参考

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